Fill de l’exjugador reusenc Kiko Alabart, Ignacio va néixer a la Corunya i va formar-se al Compañía de María a partir dels 5 anys. Després de formar-se a la Masia blaugrana, el seu debut amb el primer equip va arribar quan tenía 17 anys, en un Barça-Blanes d’OK Lliga. El 2015 va estrenar-se a la Lliga Europea, contra el Dinan Quevert. Després d’un excel·lent rendiment amb el Barça B la temporada 2014/15 (33 gols a Primera Divisió) i d’haver-se proclamat campió de Catalunya i d’Espanya júnior, Alabart va sortir cedit al CP Voltregà per viure la seva primera temporada completa a l’OK Lliga. A Sant Hipòlit hi va militar dues campanyes, va assolir experiència i va demostrar la seva vàlua per a la màxima competició estatal. El seu retorn, per integrar-se al primer equip blaugrana, va arribar a l’estiu del 2017, després d’haver estat un dels referents de l’equip osonenc i d’haver marcat 26 gols a l’OK Lliga 2016/17.